Kapan Manusia Mulai Mengenal Bilangan ?

Matematika tidak hanya tentang bilangan. Bilangan hanya merupakan salah satu cabang dari matematika. Namun, bilangan ada dan berperan penting bagi kehidupan kita.

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Dalam matematika, konsep bilangan meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional dan bilangan kompleks. Sedangkan angka adalah simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan.

Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah. Misalnya, untuk membandingkan dua kelompok kupu-kupu yang berbeda, mereka hanya bisa membandingkan banyak sedikitnya kedua kelompok kupu-kupu itu. Akan tetapi kepastian jumlah tentang milik seseorang atau milik orang lain mulai dibutuhkan, sehingga mulai mengenal dan belajar perhitungan sederhana.
Namun dalam perkembangannya para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata kata yang tepat untuk mendefinisikan bilangan. Maka Matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tidak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan sehari-hari kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi, ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta aspek kehidupan lainnya.

Sistem bilangan berawal dari zaman Paleolitikum atau zaman batu tua. Sistem yang digunakan adalah korespondensi satu-satu dengan banyaknya benda yang dihitung. 

 

Karena sistem tersebut tidak praktis, maka di Persia pada abad ke-5 SM terjadi suatu perkembangan sistem bilangan yaitu dengan digunakannya simpul-simpul yang disusun pada tali.

Pada abad ke-15 SM, suku Inca menggunakan sistem yang sama dengan mengembangkan quipu, yaitu suatu tali yang disusun secara horizontal dimana dari tali tersebut digantung berbagai macam benang. Jenis simpul yang digunakan, panjang dari tali dan warna serta posisi benang menandakan tingkatan kuantitas satuan, puluhan serta ratusan.  

Beberapa peradaban juga menggunakan sistem bilangan untuk mempresentasikan banyaknya objek yang berbeda-beda yaitu dengan menggunakan batu tanah liat yang disebut calculi (bahasa latin dari calculi yaitu calculus). Tanah liat yang bangsa Sumeria tersebut digunakan pada abad ke-4 SM. Batu tanah liat yang berbentuk kerucut mewakili banyaknya satu objek, yang berbentuk bola mewakili banyaknya sepuluh, dan batu tanah liat besar yang berbentuk kerucut mewakili enam puluh.

Penulisan lambang bilangan selanjutnya dilakukan terus menerus oleh beberapa bangsa, diantaranya sebagai berikut :

• Pada 500 SM, bangsa Maya di Amerika mengembangkan penulisan lambang bilangan (angka) yang menggunakan lambang-lambang pokok. 

• Orang-orang Mesir Kuno menggunakan Hieroglif untuk menuliskan bilangan-bilangan.

• Pada abad ke-11 SM, bangsa Arab menulis lambang bilangan dari 1 sampai 9 seperti yang ada dan terus dipakai sampai saat ini oleh orang-orang Islam di seluruh dunia.
• Bangsa Yunani Kuno menulis bilangan dengan menggunakan huruf abjad yang mereka pakai dalam menulis ditambah tiga lambang khusus. 

• Bangsa Cina Kuno, mereka memulai bilangan dengan membuat garis-garis seperti batang.
• Bangsa Romawi menggunakan angka-angka sebagai sistem bilangan Romawi berbentuk huruf-huruf. Angka Romawi ini masih dipergunakan hingga saat ini untuk penulisan nomor bab dalam beberapa buku atau karya ilmiah.  

• Perkembangan selanjutnya, angka Hindu Arab Kuno ditemukan manuskrip Spanyol abad X dan menjadi cikal bakal bagi angka-angka yang dipakai sekarang ini.

Jadi, bilangan yang kita kenal ini pertama kali ditemukan pada zaman Paleolitikum (zaman batu tua). Zaman-zaman sebelumnya mungkin sudah mengenal, namun belum adanya bukti akan hal tersebut. Pada zaman Paleolitikum, manusia sudah mulai menyimbolkan bilangan, walaupun hanya menggoreskan garis. Baik itu pada dinding goa, batu dan lain sebagainya.

Dengan adanya bilangan kita mampu mematematisasi semua yang ada di dunia. Baik itu dalam hal keuangan, pelajaran dan sebagainya. Disamping hal itu, penulis berharap semoga dengan adanya tulisan essai tentang kapan manusia mulai mengenal bilangan dapat menambah wawasan serta bermanfaat bagi pembacanya.

Dikirim oleh : Jajang Nuralim-Mahasiswa Pendidikan Matematika UNSIL

jajangnuralim@gmail.com

DAFTAR PUSTAKA
https://id.m.wikipedia.org/wiki/Bilangan
https://safitri120035.wordpress.com/2012/12/09/cinta-dan-matematika/
https://id.m.wikipedia.org/wiki/Sejarah_dunia

https://zoneofmath.wordpress.com/teori-bilangan/

www.zakapedia.com/2013/02/sejarah-bilangan-dan-perkembangannya.html?m=1

www.mallthematics.blogspot.com/2013/04/sejarah-bilangan.html

Tips Mengetahui Langkah-Langkah Penyelesaian Soal Matematika di Maple

Pernahkah teman-teman merasa kesal karena menyelesaikan permasalahan matematika "langsung hasilnya" tanpa ada langkah-langkah penyelesaian di aplikasi berbasis CAS ? seperti GeoGebra, Microsoft Mathematics dan sebagainya ? 

Tenang saja, sekarang FloMath bakalan bagiin Tips buat teman-teman semua, yaitu "Tips Mengetahui Langkah-langkah Penyelesaian Soal Matematika di Maple". Yah, pada postingan kali ini, saya memakai salah satu fitur pada Aplikasi Maple besutan Maplesoft untuk mengetahui Langkah-langkah penyelesaian soal matematika.

Dengan Memakai salah satu fitur yang ada di Aplikasi Maple, yakni fitur TUTORS kita dapat melihat langkah-langkah dari persoalan matematika yang di tanyakan. Fitur TUTORS ini hampir mirip dengan tutor dalam kehidupan nyata. Fungsinya sama-sama memberi penjelasan secara terstruktur dan detail, termasuk memperlihatkan langkah-langkah dalam penyelesaian permasalahan.

Untuk masuk ke fitur TUTORS ini, teman-teman dapat langsung mengklik toolbar "tool-tutors"

Pada Tutor sendiri, ada beberapa pilihan sebagai berikut 

Misalkan, teman-teman ingin mencari sebuah integral sebagai berikut :

Maka langkah pertama adalah masuk ke menu tool-tutors-calculus single variable (variable satu)-Integrations Methods..

Maka akan muncul kotak dialog seperti di atas. Selanjutnya teman-teman hanya memasukan fungsi integral yang akan di cari, yakni memakai metode standar (baca : Tips Menulis Equations dengan Cepat di MS Word). 

Karena integral di atas merupakan integral tak tentu (tanpa batas atas dan bawah) maka kotak dialog from - to dikosongkan. Selanjutnya tinggal klik "All Steps" maka akan langsung muncul langkah-langkahnya ..

Selebihnya, teman-teman tinggal bereksplorasi dengan soal-soal yang lebih kompleks dan materi yang kompleks juga tidak integral saja. Nah, bagi teman-teman yang belum mempunyai Aplikasi Maple, dapat mengunjungi postingan sebelumnya (baca : Aplikasi Maple 18. Full Version for Windows x64/x86)

Cara Memperoleh Variabel Peubah dari Satu Persamaan Linear

Setelah kemarin FloMath memposting beberapa Aplikasi Matematika. Pada kesempatan kali ini FloMath akan membahas mengenai "Cara Memperoleh Variabel Peubah dari Satu Persamaan Linear".

Pernahkan teman-teman berhadapan dengan sebuah soal persamaan linear yang mengharuskan teman-teman mencari variabel peubah hanya dari satu persamaan linear saja ? Jika pernah, mungkin teman-teman akan kesulitan menentukan variabel peubahnya (yang paling familiar x dan y). Kenapa ? karena biasanya untuk mencari variabel peubah suatu persamaan linear dibutuhkan paling sedikit sama dengan jumlah peubahnya. Artinya, jika terdapat peubah x dan y dalam sebuah persamaan linear, maka untuk mencari x dan y sekurang-kurangnya haruslah terdapat dua persamaan  linear.

Contoh:
Sebuah boneka dijual seharga 7 dolar dan mainan robot dijual seharga 18 dolar. Sebuah toko mainan menjual 25 boneka dan mainan robot dengan total harga 208 dolar. Berapa banyak boneka dan mainan robot yang di jual ?

Solusi :

Misalnya x adalah banyaknya boneka dan y adalah banyaknya mainan robot. Maka kita memiliki dua persamaan dengan dua peubah yang belum diketahui nilainya

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan berbagai cara, bisa dengan metode substitusi, metode eliminasi, dan metode gabungan subtitusi-eliminasi. Tapi mungkin akan lebih mudah dengan metode substitusi dengan cara mengubah persamaan pertama menjadi : x = 25 - y lalu kita substitusikan ke persamaan kedua:

Selanjutnya, kita substitusikan y = 3 kedalam persamaan awal, baik ke persamaan satu atau dua. Misalnya, saya substitusikan y = 3 ke persamaan pertama yakni, x + y = 25, maka akan diperoleh nilai x = 22.

Dalam contoh di atas terdapat dua pernyataan sehingga menghasilkan dua persamaan linear. Tapi bagaimana jika persamaan pertama : x + y = 25 kita hilangkan. Apakah dapat di cari solusinya ?

Ini yang menjadi permasalahan yang saya ingin cari solusinya pada postingan kali ini.

Sekarang kita lihat persoalan yang lebih menarik :

Misalnya sebuah boneka dijual seharga 7 dolar dan mainan robot dijual seharga 18 dolar. Sebuah toko menerima 208 dolar dari hasil penjualan tersebut. Berapa banyaknya boneka dan mainan robot yang dijual ?

Persoalan ini mirip dengan persoalan sebelumnya, namun kali ini kita hanya diberikan satu persamaan :

Dalam aljabar linear kita tahu bahwa untuk menyelesaikan persamaan linear, kita membutuhkan persamaan paling sedikit sebanyak jumlah peubah. Pada soal diatas terdapat dua peubah : x dan y dengan hanya satu persamaan. Tapi, ada satu tambahan kunci dalam soal diatas, yaitu banyaknya boneka dan mainan robot tidak mungkin pecahan (bilangat bulat positif). Maka persamaan tersebut dapat dituliskan 

Sekarang, kita mulai dengan mengubah bentuk persamaan di atas:

Kelihatannya, kita belum menyelesaikan apapun, tapi karena y adalah sebuah bilangan bulat, jadi pastilah nilai (29 - 2y) dan (5 - 4y)/7 juga bilangan bulat. Misalnya, kita sebut (5 - 4y)/7 dengan a sehingga menghasilkan persamaan :

Seperti sebelumnya, disini kita belum menemukan solusi persamaan, tapi sekarang persamaan terlihat menjadi lebih sederhana karena pembagi lebih kecil. Pembagi semula 7 kini 4.

Kita tahu, bahwa a adalah bilangan bulat dan 1 - a pastilah juga bilangan bulat. Sehingga (1 - 3a)/4 juga bilangan bulat dan kita sebut dengan b. Sekarang kita ulangi langkah di atas untuk b.

Dengan alasan yang sama dengan sebelumnya. (1 - b)/ 3 pasti adalah bilangan bulat dan kita sebut c.

Sekarang dapat dilihat bahwa berapapun bilangan bulat c, b, akan menjadi bilangan bulat. Dengan menyubstitusi b ke persamaan sebelumnya dan didapat :

Sekarang kita substitusikan a untuk mendapatkan y.

Akhirnya kita dapat menyubstitusikan y pada persamaan persamaan di atas ke persamaan ;

sehingga x = 22 + 18c dan y = 3 - 7c. Jika c = 0 kita memperoleh solusi yang sama dengan persoalan sebelumnya yaitu x = 22 dan y = 3. Akan tetapi, untuk bilangan bulat c yang berbeda akan menghasilkan hasil yang berbeda terhadap x dan y. Kita dapat lihat bahwa nilai positif c akan mengakibatkan nilai negatif bagi y. Sedangkan nilai negatif tjelas salah dalam persoalan ini. Jadi, untuk menghasilkan nilai positif bagi x dan y, hanya mungkin jika c = 0 atau c = -1. Dengan menyubstitusikan c maka untuk jawaban yang benar, c haruslah bernilai 0.

Kesimpulannya, Untuk mencari variabel peubah dari satu persamaan linear, variabel peubahnya haruslah  anggota bilangan bulat atau bisa juga di sebut dengan Persamaan Diophantine Linear. Sebenarnya, cara yang efektif dan efisien dalam menyelesaikan soal di atas adalah dengan persamaan diophantine, baik dengan cara algoritma euclidean ataupun menggunakan konsep modulo. Akan tetapi, saya tidak akan membahasnya sekarang, mungkin di postingan yang akan datang.

Mengatasi Operasi Aritmatika Gabungan Tanpa Tanda 'Kurung'

Pada postingan sebelumnya, FloMath telah menjelaskan bagaimana cara menulis equation dengan cepat di MS Word.

Kali ini, FloMath Akan membahas mengenai permasalahan yang sering dialami oleh pelajar khususnya mahasiswa. Banyak mahasiswa yang mengeluh tentang sulitnya mengerjakan soal operasi aritmatika gabungan yang tidak disisipkan tanda ‘kurung’. Penyebabnya, karena mereka terbiasa dibantu dengan tanda ‘kurung’ untuk mempermudah mengatasi permasalahan yang di berikan. Alhasil, ketika tanda ‘kurung’ dihilangkan mereka seperti kehilangan arah untuk menentukan operasi mana yang di dahulukan dan di akhirkan.

Karena fenomena demikian, saya akan mencoba menemukan pemecahan atas permasalahan ini. Sehingga pada postingan kali ini saya akan membahas mengenai “Mengatasi Operasi Aritmatika Gabungan Tanpa Tanda 'Kurung'”

Biasanya, dalam operasi aritmatika gabungan  (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian) selalu disisipkan tanda 'kurung'. Fungsinya untuk memudahkan pengoperasian dan menentukan prioritas pengoperasian.

Seperti contoh di atas, kita akan dengan mudah menyelesaikan permasalahannya. Pertama mengoperasikan (10 : 5) dan (10 x 5) dan hasil dari keduanya di operasikan seperti biasanya . Jadi hasilnya 20 + 6 - 2 + 50 - 25 = 49.

Tapi, bagaimana cara mengatasi operasi gabungan matematika tanpa disisipkan tanda 'kurung' ? Apakah ada prioritas dalam pengoperasian ? atau mendahulukan operasi tertentu dan mengakhirkan operasi lainnya ?

Sebenarnya banyak perdebatan dalam permasalahan ini, ada yang berpendapat mendahulukan operasi pembagian daripada operasi lainnya. Sebagian pendapat lainnya, memilih operasi perkalian yang didahulukan ketimbang operasi lainnya ? dan masih banyak lagi. Lalu mana yang benar ?

“Apabila sudah mentok, maka kembali ke definisi awal” itu yang diucapkan salah seorang dosen matematika saya. Dan itu yang selalu saya lakukan apabila mengalami kesulitan dalam memecahkan permasalahan matematika. Sekali lagi, kata kuncinya kembali ke definisi awal.

Dalam Teori Kalkulus, Pengurangan dan Pembagian merupakan invers (kebalikan) dari Penjumlahan dan Pengurangan. Penyebabnya, karena x + ... = 0  dan x . ... = 1. Nilai yang dicari merupakan invers dari x. Untuk invers penjumlahan adalah (- x) dan untuk invers perkalian adalah (x^-1 ). Sehingga x + (- x) = 0 dan x. x^-1 =1. Maka Pengurangan dan pembagian difenisikan dengan

Setelah mengetahui definisinya, mari kita buktikan !!

Misal saya mempunyai soal sebagai berikut !

jawab :

dan ini jawaban dari kalkulator scientific

 

Untuk Lebih memahaminya, saya akan memberikan soal kepada teman-teman

Penting !! Pengerjaan tidak berlaku apabila di ganti dengan operasi balikan (invers) semuanya. Dan terdapat urutan operasi yakni, Perkalian dan Inversnya (pembagian) lebih dahulu di operasikan daripada penjumlahan dan inversnya (pengurangan).

Tips Menulis Equation di Microsoft Word Dengan Cepat

Pada kesempatan kali ini, FloMath bakalan ngasih tips tentang "cara menulis persamaan/ equation di Microsoft Word dengan cepat"

Seperti yang kita ketahui, bahwa menulis persamaan atau equation di Word itu susah dan lama. Tentunya, teman-teman pasti ngerasain bagaimana susahnya nulis persamaan di MS Word. Penyebabnya, karena kita harus mondar-mandir geser mouse ke symbol atau persamaan yang akan kita tulis, bener kan? Coba kalo nulis nya itu full di keyboard ? kebayang gak cepetnya kaya gimana ?

Tapi itu bukan mimpi lho, ternyata ada tips atau cara supaya nulis persamaan atau equation di word itu minim gerakin mouse alias full keyboard. Dan itu ngebantu banget buat kita yang sehari-hari berusan dengan tulis-menulis rumus matematika di Word, baik itu buat Jurnal, Makalah, Essay, dan lain sebagainya.

Sebelum kita memulai tips nya, alangkah baiknya, teman-teman sudah mengetahui bagaimana cara masuk ke menu Equation/ persamaan.

Dan untuk masuk ke menu Equation/ persamaan di MS Word, kita bisa klik menu Persamaan/ Equation di Word atau dengan menekan “Alt + =”.

Setelah itu akan tampil menu sebagai berikut. (akan tampil menu baru “Desain” di taskbar)

Setelah kita mengetahui cara masuk ke menu Equation/ persamaan, selanjutnya kita akan memulai tips untuk mempercepat penulisan persamaan/ equation di MS Word.

Mengenal Macam-macam Simbol

Mungkin teman-teman bertanya-tanya mengapa mengenal macam-macam simbol begitu penting ? bukankah simbol tinggal dicari sesuai dengan apa yang ingin di tulis ?

Maksud saya bukan seperti itu. Bukan pengenalan dari macam-macam simbol ‘aslinya’, melainkan lebih ke penulisan.

Dalam penulisan simbol, semua memiliki “shortcutnya”, bukan dalam hal simbol saja, melainkan hampir semua perintah di komputer ada shortcutnya. Misal perintah menyalin atau copy, kita tinggal mengetik Ctrl + C dan perintah-perintah lainnya ada semacam ‘jalan pintas’ nya.

Begitu pun dengan penulisan simbol-simbol. Jika dalam perintah komputer kita memakai “ALT/CTRL/SHIFT” dalam penulisan simbol di awali dengan backslash ‘\’. Misal untuk menulis simbol 'α' (alpa) dapat ditulis dengan ‘\alpha’, atau menulis simbol ‘β’ (beta) dapat di tulis dengan ‘\beta’ dan lain sebagainya.

Ingat !! : Penulisan simbol menggunakan ‘\alpha’ atau ‘\beta’ di atas harus dalam mode atau form equation/ persamaan seperti pada gambar di bawah ini

 

Untuk mengetahui apa ‘shortcutnya’ dalam beberapa simbol, dapat di lihat dengan cara memindahkan mouse ke simbol yang di cari (menu desain) dan diamkan sejenak, maka akan muncul shortcutnya.

Untuk melihat ‘shorcut’ simbol yang lebih lengkap bisa masuk ke menu ‘Desain’ klik panah kecil di ‘alat’ (pojok kiri) lalu klik ‘Koreksi Otomatis Matematika’.

(klik untuk memperbesar gambar)

Meski tidak mungkin untuk menghapal semua ‘shortcut’ simbol, tapi saya yakin lama kelamaan akan hapal, minimal simbol yang sering di pakai dalam rumus-rumus matematika.

Mengenal Penulisan Dasar Persamaan

Dalam penulisan sebuah persamaan matematika, sebenarnya ada beberapa penulisan, ada ‘Model Standar’ dan ‘Model Professional’. Untuk contohnya dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

   

(Rumus Kuadratis dalam Model Standar)

(Rumus Kuadratis dalam Mode Professional)

Untuk penulisan persamaan/ equation di MS Word, saya sarankan untuk memakai penulisan ‘Mode Standar’. Alasannya, karena kita akan lebih fokus dalam menuliskan persamaan tanpa gangguan ‘Geser-geser Mouse’. Tapi, itu kembali lagi ke teman-teman, yang enak dan nyaman di pakai tergantung selera teman-teman sendiri.

Mengenal Operasi-operasi Dasar

Seperti kita ketahui bahwa ada beberapa operasi-operasi dasar yang sering di pakai dalam penulisan rumus matematika, misal pertambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, akar, indeks dsb.

Nah khusus untuk perpangkatan, indeks, dan pembagian dalam penulisan di MS Word ada sedikit perbedaan. Untuk perpangkatan dapat di tulis dengan ‘^’. Untuk indeks dapat di tulis dengan ’_’. Terakhir untuk pembagian dapat ditulis dengan ‘/’. Misalnya seperti pada gambar di bawah ini.

Selain berfungsi sebagai perpangkatan dan indeks, ‘^’ dan ‘_’ berturut-turut berfungsi sebagai batas atas dan batas bawah pada sebuah persamaan. Misalnya, pada simbol integral, limit, dsb.

Mengenal Operasi-operasi Lanjutan

Maksud dari operasi-operasi lanjutan adalah operasi-operasi semacam matriks, integral, limit, deret, dan sebagainya. Operasi-operasi semacam integral, limit, dan lain-lain itu hanya ditulis ‘shortcut’nya sesuai yang di awal. Dan apabila memerlukan batas atas atau bawah, tinggal memakai ‘^’ dan ‘_’

Berbeda dengan matriks, ada operasi khusus yang tidak ada di operasi-operasi lanjutan lainnya. operasinya yaitu ‘&’ dan ‘@’. ‘&’ untuk menentukan baris sedangkan ‘@’ untuk menentukan kolom. Misalnya seperti gambar di bawah ini. Misal saya akan membuat matriks identitas ordo 3x3.

Kesimpulan

Sebenarnya, untuk dapat menulis persamaan/ equation matematika dengan cepat kita hanya membutuhkan beberapa ‘shortcut’, dan untuk  beberapa persamaan matematika lanjutan kita harus kreatif. Apabila teman-teman memahami setiap bab di postingan ini, saya rasa sudah lebih dari cukup kemampuan menulis persamaan/ equation dengan efektif, efiesien dengan meminimalisir penggunaan mouse/ cursor.

Sebagai penutup, saya akan mencoba memberi persamaan yang lumayan rumit.

Perhatikan gambar di bawah ini.

Jawabannya bisa dikirim di kolom komentar.