Cara Memperoleh Variabel Peubah dari Satu Persamaan Linear

Setelah kemarin FloMath memposting beberapa Aplikasi Matematika. Pada kesempatan kali ini FloMath akan membahas mengenai "Cara Memperoleh Variabel Peubah dari Satu Persamaan Linear".

Pernahkan teman-teman berhadapan dengan sebuah soal persamaan linear yang mengharuskan teman-teman mencari variabel peubah hanya dari satu persamaan linear saja ? Jika pernah, mungkin teman-teman akan kesulitan menentukan variabel peubahnya (yang paling familiar x dan y). Kenapa ? karena biasanya untuk mencari variabel peubah suatu persamaan linear dibutuhkan paling sedikit sama dengan jumlah peubahnya. Artinya, jika terdapat peubah x dan y dalam sebuah persamaan linear, maka untuk mencari x dan y sekurang-kurangnya haruslah terdapat dua persamaan  linear.

Contoh:
Sebuah boneka dijual seharga 7 dolar dan mainan robot dijual seharga 18 dolar. Sebuah toko mainan menjual 25 boneka dan mainan robot dengan total harga 208 dolar. Berapa banyak boneka dan mainan robot yang di jual ?

Solusi :

Misalnya x adalah banyaknya boneka dan y adalah banyaknya mainan robot. Maka kita memiliki dua persamaan dengan dua peubah yang belum diketahui nilainya

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan berbagai cara, bisa dengan metode substitusi, metode eliminasi, dan metode gabungan subtitusi-eliminasi. Tapi mungkin akan lebih mudah dengan metode substitusi dengan cara mengubah persamaan pertama menjadi : x = 25 - y lalu kita substitusikan ke persamaan kedua:

Selanjutnya, kita substitusikan y = 3 kedalam persamaan awal, baik ke persamaan satu atau dua. Misalnya, saya substitusikan y = 3 ke persamaan pertama yakni, x + y = 25, maka akan diperoleh nilai x = 22.

Dalam contoh di atas terdapat dua pernyataan sehingga menghasilkan dua persamaan linear. Tapi bagaimana jika persamaan pertama : x + y = 25 kita hilangkan. Apakah dapat di cari solusinya ?

Ini yang menjadi permasalahan yang saya ingin cari solusinya pada postingan kali ini.

Sekarang kita lihat persoalan yang lebih menarik :

Misalnya sebuah boneka dijual seharga 7 dolar dan mainan robot dijual seharga 18 dolar. Sebuah toko menerima 208 dolar dari hasil penjualan tersebut. Berapa banyaknya boneka dan mainan robot yang dijual ?

Persoalan ini mirip dengan persoalan sebelumnya, namun kali ini kita hanya diberikan satu persamaan :

Dalam aljabar linear kita tahu bahwa untuk menyelesaikan persamaan linear, kita membutuhkan persamaan paling sedikit sebanyak jumlah peubah. Pada soal diatas terdapat dua peubah : x dan y dengan hanya satu persamaan. Tapi, ada satu tambahan kunci dalam soal diatas, yaitu banyaknya boneka dan mainan robot tidak mungkin pecahan (bilangat bulat positif). Maka persamaan tersebut dapat dituliskan 

Sekarang, kita mulai dengan mengubah bentuk persamaan di atas:

Kelihatannya, kita belum menyelesaikan apapun, tapi karena y adalah sebuah bilangan bulat, jadi pastilah nilai (29 - 2y) dan (5 - 4y)/7 juga bilangan bulat. Misalnya, kita sebut (5 - 4y)/7 dengan a sehingga menghasilkan persamaan :

Seperti sebelumnya, disini kita belum menemukan solusi persamaan, tapi sekarang persamaan terlihat menjadi lebih sederhana karena pembagi lebih kecil. Pembagi semula 7 kini 4.

Kita tahu, bahwa a adalah bilangan bulat dan 1 - a pastilah juga bilangan bulat. Sehingga (1 - 3a)/4 juga bilangan bulat dan kita sebut dengan b. Sekarang kita ulangi langkah di atas untuk b.

Dengan alasan yang sama dengan sebelumnya. (1 - b)/ 3 pasti adalah bilangan bulat dan kita sebut c.

Sekarang dapat dilihat bahwa berapapun bilangan bulat c, b, akan menjadi bilangan bulat. Dengan menyubstitusi b ke persamaan sebelumnya dan didapat :

Sekarang kita substitusikan a untuk mendapatkan y.

Akhirnya kita dapat menyubstitusikan y pada persamaan persamaan di atas ke persamaan ;

sehingga x = 22 + 18c dan y = 3 - 7c. Jika c = 0 kita memperoleh solusi yang sama dengan persoalan sebelumnya yaitu x = 22 dan y = 3. Akan tetapi, untuk bilangan bulat c yang berbeda akan menghasilkan hasil yang berbeda terhadap x dan y. Kita dapat lihat bahwa nilai positif c akan mengakibatkan nilai negatif bagi y. Sedangkan nilai negatif tjelas salah dalam persoalan ini. Jadi, untuk menghasilkan nilai positif bagi x dan y, hanya mungkin jika c = 0 atau c = -1. Dengan menyubstitusikan c maka untuk jawaban yang benar, c haruslah bernilai 0.

Kesimpulannya, Untuk mencari variabel peubah dari satu persamaan linear, variabel peubahnya haruslah  anggota bilangan bulat atau bisa juga di sebut dengan Persamaan Diophantine Linear. Sebenarnya, cara yang efektif dan efisien dalam menyelesaikan soal di atas adalah dengan persamaan diophantine, baik dengan cara algoritma euclidean ataupun menggunakan konsep modulo. Akan tetapi, saya tidak akan membahasnya sekarang, mungkin di postingan yang akan datang.